Seminar Matematika
Pembuktian Teorema Newton dan Leon Anne
Oleh :
Nama : Riska Agustinah
Nim : 06061008006
Pembimbing : Ely Susanti,M.Pd
Program Studi : Pend.Matematika
Program Studi Pendidikan Matematika
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Sriwijaya
2009
Pembuktian Teorema Newton dan Leon Anne
Halaman Pengesahan
Oleh :
Nama : Riska Agustinah
Nim : 06061008006
Program Studi : Pend.Matematika
Telah disetujui untuk diseminarkan pada akhir semester genap 2009
Inderalaya, 2009
Mengetahui
Koordinator Seminar Pembimbing
Jaidan Jauhari,S.pd MT Ely Susanti,S,pd.M.Pd
NIP : 132316605 NIP : 132306495
Pembuktian Teorema Newton dan Leon Anne
Riska Agustinah
Program Studi Matematika Fkip Unsri
Agt.Riska@yahoo.com
Abstrak
Makalah ini membahas mengenai Teorema Newton dan Leon Anne dalam pembuktian teorema ini menggunakan definisinya,teorema ini berbunyi,Sebuah bangun datar segi empat ABCD yang bukan jajar genjang tidak termasuk layang – layang dengan titik pusat O, luas segitiga AOB ditambah luas segitiga COD sama dengan luas segitiga BOC ditambah dengan luas segitiga AOD. Dengan garis newton yang ada dalam bidang datar segi empat. Teorema ini membuktikan bahwa luas segitiga AOB ditambah dengan luas segitiga COD itu sama dengan luas segitiga BOC ditambah luas segitiga AOD dalam bidang segi empat.untuk membuktikan teorema ini yaitu menggunakan garis newton,Garis Newton adalah garis yang menghubungkan titik tengah dari diagonal–diagonal ABCD,yang melewati titik tengah lingkaran.
Kita juga perlu menggunakan materi–materi yang berkaitan pada materi pokok bahasan ini. Dengan demikian,kita dapat menemukan pembuktian dari teorema Newton dan Leon Anne ini.
Kata Kunci: Lingkaran,Garis singgung lingkaran, Luas segitiga,
Garis Newton, Teorema Newton dan Leon Anne.
I. Pendahuluan
A. Latar Belakang
Matematika merupakan ilmu yang mendasari banyak ilmu lain. Perannya sebagai salah satu mata pelajaran disekolah sangat penting dalam menunjang pembelajaran ilmu yang lainnya tersebut. Matematika juga tercipta lewat inovasi dan penemuan, Ada yang telah tersedia, ada yang tersaji di alam untuk diolah, namun ada pula yang harus ditemukan lewat upaya manusia. Begitu pula dengan teorema Newton dan Leon anne.merupakan salah satu diantara sekian banyak teorema yang ada dalam bidang geometri. Dalam makalah ini, penyaji menyajikan materi untuk membuktikan teorema Newton dan Leon anne.
B. Tujuan
Tujuan dari penulisan makalah ini adalah sebagai materi pengayaan untuk menambah pengetahuan yang dapat diberikan kepada siswa khususnya pada pokok bahasan geometri. Terkait hal di atas, penulis tertarik untuk menulis makalah kolokium ini tentang pembuktian teorema Newton dan Leon anne.
C. Manfaat
Untuk menambah pengetahuan siswa pada materi lingkaran dalam,bangun datar,yang sebelumnya sudah ada materi lingkaran dalam segitiga.
II. Materi Penunjang
Segitiga
Segitiga adalah bangun datar
yang dibentuk dari tiga sisi
yang berupa garis lurus dan
tiga buah sudut.
Salah satu jenis segitiga yang
di tinjau dari panjang sisinya yaitu :
1.Segitiga sembarang
Segitiga sembarang adalah segitiga yang keitga sisinya tidak sama panjang.
C
A B
Sifat – sifat segitiga sembarang :
a. Ketiga sisinya berbeda
panjangnya,yaitu
b. Ketiga sudut nya berbeda besarnya
yatiu A .
2. Segitiga sama kaki
Segitiga sama kaki adalah segitiga yang memiliki dua buah sisi yang sama panjang.
Sifat – sifat segitiga sama kaki:
a. Mempunyai sepasang sisi yang sama
panjang yaitu AC = BC.
b. Mempunyai sepasang sudut yang
sama besar yaitu = .
c. Mempunyai satu sumbu simetri
d. Dapat menempati bingkainya
dengan tepat menurut dua cara.
Lingkaran
Lingkaran adalah lengkungan tertutup sederhana yang setiap titik pada lengkungan itu mempunyai jarak yang sama terhadap satu titik tertentu kumpulan titik - titik yang membentuk lengkungan tertutup,
dimana titik-titik pada lengkungan tersebut berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama tersebut disebut jari-jari lingkaran. Biasanya dilambangkan dengan huruf ‘r’.Garis tengah lingkaran disebut diameter lingkaran dengan panjang adalah dua kali panjang jari-jari. Sedangkan, satu titik tertentu tersebut disebut titik pusat lingkaran. Yaitu titik O pada gambar diatas.
Garis Singgung Lingkaran
o
r
Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat di
satu titik. Titik tersebut dinamakan titik singgung lingkaran.
Sifat – sifat garis singgung lingkaran:
1.Garis singgung lingkaran tegak lurus
pada diameter lingkaran yang melalui
titik singgungnya
2.Melalui suatu titik pada lingkaran
hanya dapat dibuat satu garis
singgung pada lingkaran tersebut.
3.Melalui suatu titik di luar
lingkaran dapat dibuat dua garis
singgung pada lingkaran tersebut.
4.Jika P di luar lingkaran maka
jarak P ke titik-titik singgungnya
adalah sama.
Bangun Datar segi empat
Skema macam – macam bangun
segi empat
Segi empat
III. Materi Pokok
Teorema Newton dan Leon Anne menyatakan bahwa :
Ada Beberapa segi empat ABCD yang bukan jajar genjang dan bukan laying-layang dengan kedudukan lingkaran yang mempunyai titik pusat O menyinggung setiap sisi segi empat tersebut,sehingga Luas ( AOB) + luas( COD) = Luas ( BOC) + luas( AOD),dimana Garis Newton adalah segment yang menghubungkan titik tengah dari diagonal-diagonal ABCD.
Gambar 1 Segi Empat
Pembuktian :
Ketika titik E adalah titik tengah dari diagonal BD,F adalah titik tengah dari diagonal AC,dan O adalah titik pusat lingkaran.
Luas ( AOB) = luas ( AFB) +
luas ( AOF) + luas( BOF), dan
luas( DOC) = luas ( DFC) – luas
( COF) - luas( DOF),
Karena itu,
Luas ( AOB) + luas( COD) = luas( AFB)+luas( CFD)...pers(1)
Dengan cara yang sama,
Luas ( AOD) = luas( AFD) + luas( DOF) – luas ( AOF), dan
Luas ( BOC) = luas ( BFC) – luas( BOF) + luas ( COF).
Dimana,
Luas ( AOD) + luas ( BOC) = luas( AFD)+luas( BFC)...pers(2)
Dari persamaan (1) dan (2) itu menghasilkan :
Luas ( AOB) + luas( COD) = Luas ( AOD) + luas ( BOC)
Terbukti
Menurut skema segi empat Bangun Datar jajar genjang dan layang – layang yang tidak bisa digunakan untuk membuktikan teorema Newton dan Leon Anne adalah
1. Persegi Panjang
Gambar 2 Persegi Panjang
Persegi panjang tidak bisa di buktikan karena didalam persegi panjang itu tidak bisa menggunakan lingkaran setiap sisi persegi panjang tidak menyinggung lingkaran tersebut yang bisa menyinggung ke empat sisi-sisi persegi panjang itu bukan lingkaran tetapi terbentuk elips.
2. Persegi
Gambar 3 Persegi
Persegi tidak bisa di buktikan karena titik pusat lingkaran dan titik tengah dari kedua diagonal tersebut berimpit sehingga tidak terdapat garis newton di dalamnya.
Bukti persegi berimpit (0,0) yaitu
Menggunakan persamaan garis
y persamaan garis DC, y = r
x persamaan garis BC, x = r
sehingga titik C ( r,r )
y persamaan garis AB,y = -r
x persamaan garis AD,x = -r,
sehingga titk A ( -r,-r )
(y – r) - 2r = (x – r) – 2r
-2yr + 2r = (x – r) – 2r
-2yr = -2xr
y = x
y = -x
y – x = 0
y + x = 0
-2x = 0
x = 0
y + x = 0
y + 0 = 0
y = 0
Jadi,titik (x,y) = (0,0) terbukti bahwa titik tengah lingkaran dan titik tengah dari diagonal persegi berimpit.
3.BelahKetupat
Gambar 4 Belah ketupat
Sama seperti persegi,Belah ketupat juga tidak bisa di buktikan karena titik pusat lingkaran dan titik tengah dari kedua diagonal tersebut berimpit sehingga tidak terdapat garis newton di dalamnya.
Bukti Belah ketupat berimpit (0,0) yaitu,
Menggunakan persamaan garis
y persamaan garis DC, y = r
x persamaan garis BC, x = r
sehingga titik C ( r,r )
y persamaan garis AB,y = -r
x persamaan garis AD,x = -r,
sehingga titk A ( -r,-r )
Jadi,titik (x,y) = (0,0) terbukti bahwa titik tengah lingkaran dan titik tengah dari diagonal Belah ketupat berimpit.
4. Layang – layang
Gambar 5 Layang - layang
Layang – layang tidak bisa di buktikan karena lingkaran yang ada di dalam layang – layang itu hanya menyinggung kedua sisi lingkaran,sedangkan bunyi dari teorema Newton dan Leon Anne adalah lingkaran yang menyinggung ke empat sisi segi empat, Titik pusat lingkaran O dan titik tengah dari diagonal BD dan AC segaris maka dari itu layang-layang tidak memiliki titik tengah ligkaran yang kemudian dihubungkan ke titik tengah diagonal – diagonal segi empat tersebut.
Contoh Soal :
Perhatikan gambar di bawah ini,
Diketahui sebuah trapesium ABCD dengan EOF adalah garis newton.Tentukan luas AOB jika
luas AOD = 5 cm ,luas BOC = 3 cm !
Penyelesaian :
Menurut Teorema newton dan Leon Anne Luas ( AOB) + luas( COD) = Luas ( AOD) + luas ( BOC)
Jadi, Luas AOB = luas BOC +
luas AOD – luas COD
untuk mencari luas COD = luas DFC + luas DOF + luas COF
menggunakan
Rumus luas sembarang =
Dik : - FO = 1 cm
- CF = 2 cm
- CO = 2,5 cm
- DF = 2,7 cm
- DO = 3 cm
- DC = 4 cm
I. Mencari luas DFC
Luas DFC
jadi ,luas DFC adalah 2,42 cm
II. Mencari luas DOF
luas DOF
Jadi, luas DOF adalah 1,33 cm
III. Mencari luas COF
Luas COF
Jadi,luas COF adalah 0,94 cm
luas COD = luas DFC + luas
DOF + luas COF
luas COD = 2,42 + 1,33 + 0,94
= 4,69 cm
Berdasarkan Teorema Newton dan Leon Anne
Luas AOB = luas BOC +
luas AOD – luas COD
= 3 + 5 – 4,69
= 3,31 cm
Jadi, luas AOB adalah 3,31 cm
IV. Kesimpulan
Segi empat Layang – layang dan jajar genjang itu tidak dapat dibuktikan menggunakan teorema Newton dan Leon Anne,karena didalam segi empat tersebut tidak ada sebuah lingkaran yang menyinggung ke empat sisi – sisinya,sehingga tidak memiliki titik pligkaran yang kemudian dihubungkan ke titik tengah diagonal – diagonal segi empat itu,
Teorema ini menyatakan bahwa Dalam segi empat ABCD yang bukan jajar genjang tidak termasuk layang – layang dengan kedudukan lingkaran yang mempunyai titik tengah O,itu dibuktikan menggunakan teorema Newton dan Leon anne yaitu
Luas( AOB) + luas( COD) = Luas( BOC) + luas( AOD) yang terdapat garis newton dalam segi empat tersebut. Garis Newton adalah garis yang menghubungkan titik tengah dari diagonal – diagonal ABCD, yang melewati titik pusat lingkaran.
V. Daftar Pustaka
Aisyah,Nyimas.2008.Diktat
Geometri.Inderalaya:FKIP
UNSRI.
Kusrini,dkk.2008.CTL Matematika
SMPkelasVIII.BSE: Jakarta.
M,Adinawan,cholik dan
Sugijono.2004.Matematika
1B untuk SMP kelas
VII. Erlangga: Jakarta.
Mathworld.2009.Leon anne’s
theorem from mathworld
hhtp://mathworld.wolfram.com/LeonAnnesTheorem.html di akses pada 3 april 2009.
Mathworld.2009.Newton’s theorem
from mathworld
http://mathworld.wolfram.com/Newton Theorem.html
di akses pada 3 april 2009.
Wikipedia.2009.”Newton’s and
Leon Anne’s theorem”
http://www.cut-the
knot.org/Curriculum/Geometry/NewtonTheorem.shtml#Anne.
Di akses pada 28 maret
2009.
A
D
C B
sedangkan geometri ruang membahas bangun-bangun berdimensi tiga seperti: bangun-bangun ruang dan bangun-bangun datar atau bagian-bagian bidang lengkung pembentuk atau unsur dari bangun ruang tersebut.
Is newton’s line of the quadrilateral
Dasar utama perkembangan matematika adalah teori bilangan dan geometri. Geometri yang dipelajari di sekolah salah satunya geometri bidang,yang membahas bangun-bangun datar.
kumpulan titik-titik yang membentuk lengkungan tertutup,dimana titik-titik
panjangnya garis tegak dari BD ke garis EF itu sama.karena itu, dikatakan segitiga BOF dan DOF mempunyai luas yang sama,begitu pun,luas segitiga AOF sama dengan luas segitiga COF.Selanjutnya,
1. Kedua diagonal jajar genjang saling membagi dua sama panjang(berpotongandi ttitik tengah o.
A. Trapesium
Trapesium adalah Bangun datar segi empat yang tepat mempunyai sepasang sisi yang sejajar.
Ciri – ciri Trapesium :
1. sepasang sisi yang berhadapan sejajar
2. dapat menempetinya dengan tepat dua cara.
Macam – macam trapesium :
1. Trapesium Sembarang
Adalah trapesiu yang tidak mempunyai ketentuan dan sifat – sifat istimewa.
2. Trapesium Siku – siku
Adalah segi empat yang mempunyai sudut siku –siku.
3. Trapesium sama kaki
Adalah Trapesium yang mempunyai sepsang kaki(sepasang sisi yang ttidsk sejajar).
1. segitiga sama kaki
Segitiga sama kaki adalah jenis segitiga yang besar dua sudutnya dan panjang dua sisinya sama.
2. segitiga sembarang
Segitiga sembarang adalah segitiga yang, ketiga sudut dan sisinya memiliki besar dan panjang sisinya berbeda.
I. Rumus-Rumus segitiga
1. Aturan sinus
C
b a
A c B
Untuk segitiga ABC :
= = = 2R
Atau
= = = 2R
2. Aturan Cosinus
Untuk Segitiga ABC :
C
b a
A c B
a2 = b2 + c2 – 2bc CosA
b2 = a2 + C2 - 2ac CosB
c2 = a2 + b2 – 2ab cosC
3. Identitas Trigonometri
A. Identitas Trigonometri untuk jumlah dan selisih sudut
• Cos (a+b) = cos a cos b – Sin a sin b
• Cos (a-b) = Cos a Cos b + Sina Sin b
• Sin (a+b) = Sin a Cos b + Cos a Sin b
• Sin (a-b) = Sin a Cos b – Cos a sin
A
D
C B
VI. Materi Pokok
Teorema Leon Anne Berbunyi :
s ( Luas wilayah Jajargenjang yang tampak berbentuk segi empat adalah setengah dari yang asli berbentuk segi empat dan garis adalah sama dengan jumlah diagonal yang asli berbentuk segi empat).
Pembuktian :
Pembuktian Teorema Varignon ini adalah memulai pembuktian dengan menggunakan gambar.
Sebelum membuktikan teorema varignon ini terlebih dahulu kita akan membuktikan bahwa:
1. EFGH adalah sebuah bangun datar jajargenjang.
2. Keliling EFGH = AC + BD.
3. S1 + S3 = S2 + S4 =
4. S5 =
Pembuktian :
1. ABCD adalah jajar genjang
Perhatikan Δ ABC dan Δ EBF.
AB : EB = 2 : 1(dengan E titik tengah AB)
m( ABC ) = m( EBF) Berimpit
BC : BF = 2 : 1
Maka Δ ABC ~ EBF :
Jadi, EF =
Perhatikan Δ ADC dan Δ GDH.
CD : CG = 2 : 1(dengan G titik tengah CD)
m( ADC) = m( GDH) Berimpit
AD : HD = 2 : 1
Maka Δ ADC ~ GDH :
Jadi, EF = GH =
Perhatikan Δ BCD dan Δ FCG.
BC : BF = 2 : 1(dengan F titik tengah BC)
m( BCD) = m( FCG ) Berimpit
CD : CG = 2 : 1
Maka Δ BCD ~ FCG :
Jadi, F G =
Perhatikan Δ BAD dan Δ EAH.
AD : AH= 2 : 1(dengan H titik tengah AD)
m( BAD) = m( EAH ) Berimpit
AB : AH = 2 : 1
Maka Δ BAD ~ EAH :
Jadi, EH = FG =
EF//AC dan GH//AC maka EF//GH
FG//BD dan EH//BD maka FG//EH
Jadi, EFGH adalah Jajar Genjang.
2. Keliling EFGH = Diagonal AC + BD
Keliling EFGH = 2 EF + 2 FG
= 2
= AC + BD
Terbukti
3. S1 + S3 = S2 + S4 =
PR2 = 64sin2(a)sin2(c)[sin2(60o + a) + sin2(60o + c) - 2sin(60o + a)sin(60o + c)cos(b)]
Perhatikan, bahwa (60o + a) + (60o + c) + b = 180o, dengan a,b,c > 0 . Berarti terdapat segitiga dengan besar sudut (60o + a), (60o + c), dan b. Diluar jenis ini, pilih segitiga dengan jarak jari-jari lingkaran sama dengan 1 (kemudian, seperti diatas, terapkan aturan sinus, maka akan terbentuk bentuk yang sederhana.) Lalu, kembali ke segitiga sebelumnya, aplikasikan aturan cosinus pada segitiga itu. Sehingga :
sin2(b) = sin2(60o + a) + sin2(60o + c) - 2sin(60o + a)sin(60o + c)cos(b)
sehingga nilai PR dapat disederhanakan menjadi :
PR = 8sin(a)sin(b)sin(c),
Untuk QR dan PQ dapat kita tentukan dengan cara yang sama dengan metode mencari PR. Sehingga akan diperoleh PR = PQ = QR.
Artinya, segitiga PQR yang merupakan segitiga inti yang terbentuk dari segitiga ABC merupakan segitiga yang sama sisi. Teorema Morley terbukti.
Pembuktian teorema Morley dengan Gambar:
• Pada Segitiga Sama Sisi
C
A B
C1 C2
Pertemuan garis A2 dan B1 (titik p) dan garis A1 dengan C1 (titik R) dan garis B2 dengan C2 (titik Q) menghasilkan segitiga sama sisi.
• Pada Segitiga Sama Kaki
Pertemuan garis A2 dan B1 (titik p) dan garis A1 dengan C1 (titik R) dan garis B2 dengan C2 (titik Q) menghasilkan segitiga sama sisi.
• Pada Segitiga Sembarang
Pertemuan garis A2 dan B1 (titik p) dan garis A1 dengan C1 (titik R) dan garis B2 dengan C2 (titik Q) menghasilkan segitiga sama sisi.
V. Kesimpulan
Teorema Varignon dapat membuktikan bahwa mencari titik tengah dari setiap sisi bidang segi empat, itu sksn membentuk sebush bangun segi empat juga yaitu jajar genjan,Terbukti bahwa luas jajar genjang itu adalah setengah dari luas bidang segi empat.pertemuan tiga titik yang ditarik dari trisektor segitiga yang berdekatan bentuk apapun akan membentuk segitiga inti yang sama sisi.
VI. Daftar Pustaka
Kurniawan.2003.Fokus matematika untuk SMP dan MTs. Jakarta: Erlangga
www.agutidie.com/morley_triangle_circle_center.html. diakes tanggal 13 februari 2008
www.drmath.com/proof of morley’s theorem.html. diakses tanggal 20 februari 2008
www.wikipedia.com/morley’s theorem .html. diakses tanggal 28 april 2008
